Пример 30. Пусть Q⁺ - множество положительных рациональных чисел. Привести пример функции f: Q⁺® Q⁺ такой, что

Решение. Заметим, что если f(y₁) = f(y₂), то из данного функционального уравнения следует, что y₁ = y₂.

Полагая y = 1, имеем f(1) = 1. При x = 1 из уравнения получаем, что f(f(y)) = ¹/_y для всех y О Q⁺. Тогда f(f(f(y))) = f(¹/_y), и, следовательно,

Заметим, что любая функция f, удовлетворяющая при всех x, t О Q⁺ условиям:

а) f(xt) = f(x)·f(t),

б) f(f(x)) = ¹/_x,

удовлетворяет данному в условии задачи уравнению. Функция f : Q⁺® Q⁺, удовлетворяющая условию а), может быть, очевидно, определена при помощи равенства

где p_j обозначает j-е простое число и n_j О Z. Такая функция будет удовлетворять условию а) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию б) только для простых чисел.

Определим её для простых чисел следующим образом